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Raisonnement par récurrence
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Commencer par regarder pour comprendre le raisonnement par récurrence
    • Faire les exercices dans l'ordre
    • Pas de panique
      le raisonnement par récurrence est
      un nouveauT Basique Blue Shirt Modern Heather y8wNnvm0O mode de raisonnement.
      Il nécessite donc du temps pour être maitrisé.
      ça tombe bien, on le retrouve dans tous les chapitres.
    • Connaitre les erreurs à ne pas faire
      1) Oublier de faire l'initialisation
      2) Surtout ne pas écrire dans l'hérédité:
           "Supposons que pour tout entier naturel $n$, P(n) est vraie"
  • Comment travailler efficacement
  • Conseils pour le jour du bac

Raisonnement par récurrence

: regarde le cours en vidéo

Pour démontrer par récurrence la propriété P(n)n est un entier naturel, on procède en 3 étapes:
1°)

Initialisation

On vérifie que Moutarde River Jean Island Veste En Jaune 8n0ymNOPwvP(n) est vraie pour une certaine valeur de n, appelée n0.
On choisit pour n0, la plus petite valeur de n possible.
La plupart du temps, on vérifie que P(0), P(1) ou P(2) est vraie.
Si vous oubliez l'initialisation, vous n'avez rien démontré, voir cet exemple


2°)

HéréditéJdgfvqr Pour Homme Smith Pantalon Chino En Beige Marlon Teddy PkOXuiTZ

On suppose que P(n) est vraie pour un entier n≥n0.
C'est l'hypothèse de récurrence.

On démontre que cela entraine que P(n+1) est vraie.

On rédige de la façon suivante:
Soit un entier $n\ge n_0$. Supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1) est vraie.
Surtout ne pas écrire:
Supposons que pour tout entier naturel $n$, P(n) est vraie
Car si on suppose la propriété vraie pour tout $n$,
il n'y a donc rien à démontrer!

Le raisonnement par récurrence consiste
à supposer qu'une propriété est vraie pour Bianco Femme Tod's Rwiiqupdx Mocassins T Doppia nwZ0Pk8NOXune valeur de $n$
et de montrer que ça entraine que
la propriété est encore vraie au rang $n+1$.

3°) Conclusion
On rédige la conclusion toujours de la même façon:
Comme P(n0) est vraie et P(n) est héréditaire pour tout entier n≥n0,
Donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier n≥n0.




Récurrence: une nouvelle technique pour étudier les variations d'une suite

♦ les 4 techniques pour étudier les variations d'une suite: cours en vidéo Imprimé Basse Pantalon Taille Kangaroos Blanc Femme Bleu Nymnv0O8w
  • Méthode générale 
    1) Calculer $u_{n+1}-u_n$
    2) Etudier le signe $u_{n+1}-u_n$ (penser à factoriser puis à faire un tableau de signe)
        Si à partir d'un certain rang, $u_{n+1}-u_n\ge 0$, alors $(u_n)$ est croissante à partir de ce rang.
        Si à partir d'un certain rang, $u_{n+1}-u_n\le 0$, alors $(u_n)$ est décroissante à partir de ce rang.
  • Si $u_n=f(n)$
    Etudier les variations de la fonction $f$. (Penser à utiliser la dérivation)
        Si $f$ est croissante sur $[p;+\infty[$ alors $(u_n)$ est croissante pour $n\ge p$.
        Si $f$ est décroissante sur $[p;+\infty[$ alors $(u_n)$ est décroissante pour $n\ge p$.
  • S'il y a des fractions ou des puissances et que la suite est strictement positive 
    Objectif: savoir si \[\frac{u_{n+1}}{u_n}\] est plus grand ou plus petit que 1.
        Calculer \[\frac{u_{n+1}}{u_n}-1\]. Si à partir d'un certain rang:
            \[\frac{u_{n+1}}{u_n}-1\gt 0\] alors $(u_n)$ est croissante à partir de ce rang.
            \[\frac{u_{n+1}}{u_n}-1\lt 0\] alors $(u_n)$ est décroissante à partir de ce rang.
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  • Faire un raisonnement par récurrence 
    1) Calculer les premiers termes pour avoir une idée des variations.
    2) Si on veut montrer que la suite est:
        croissante, poser $P(n): u_n\le u_{n+1}$
        décroissante, poser $P(n): u_n\ge u_{n+1}$
    3) Démontrer la propriété $P(n)$ par récurrence.


    Cas particulier très important:
    $u_{n+1}=f(u_n)$
    1) Etudier les varations de $f$
    2) si $f$ est croissante, alors $f$ conserve l'ordre et on peut faire un raisonnement par récurrence.
        si $u_n\le u_{n+1}$ alors $f(u_n)\le f(u_{n+1})$ car $f$ conserve l'ordre et donc $u_{n+1}\le u_{n+2}$.
        si $u_n\ge u_{n+1}$ alors $f(u_n)\ge f(u_{n+1})$ car $f$ conserve l'ordre et donc $u_{n+1}\ge u_{n+2}$.
    Attention: $f$ peut être croissante et $(u_n)$ décroissante.
    Regarder ces exemples:

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    $u_{n+1}=\frac 12 u_n+1$ et $u_{n+1}=\frac {u_n}2+\frac 1 {u_n}$

  • Pratique mais pas indispensable:
  • Si la suite est arithmétique 
    Si la raison est positive, la suite est croissante.
    Si la raisonEn Jo Bouclette Veste Liu Jaune 4aql5j3r rtdChsQx est négative, la suite est décroissante.
  • Si la suite est géométrique 
    Soit $q$ la raison.
    Si $q>1$, $(q^n)$ est croissante puis pour conclure tenir compte de $u_0$.
    Si $0<q<1$, $(q^n)$ est décroissante puis pour conclure tenir compte de $u_0$.
    si $q< 0$, la suite n'est ni croissante, ni décroissante.


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Corrigé en vidéo! Exercices 1: Ecrire la propriété P(n) au rang n+1
Indication:
• Commence par écrire P(n+1) au brouillon
• Dans l'hérédité, pense à factoriser
Soit \(P(n)\) la propriété définie pour tout entier \(n\ge 1\) par:
\[1\times 2+2\times 3+....+n\times (n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\]
1) Écrire la propriété au rang 1, au rang 2.
2) Vérifier que la propriété est vraie au rang 1 et au rang 2.
3) Écrire la propriété au rang \(n+1\)
4) Démontrer que pour tout entier \(n\ge 1\), la propriété \(P(n)\) est vraie.
Corrigé en vidéo! Exercices 2: Somme de 1+2+...n et raisonnement par récurrence - Somme des n premiers entiers Agvuowd Pour À En Sergé Morgan Femme Veste Manches Évasées Bleu ybf76g
Indication:
• Commence par écrire P(n+1) au brouillon
• Dans l'hérédité, pense à factoriser
Démontrer par récurrence que pour tout entier \(n\ge 1\)
\[1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\]
Corrigé en vidéo! Exercices 3: Somme des carrés 1²+2²+3²+...+n² et récurrence
Indication:
• Commence par écrire P(n+1) au brouillon
• Dans l'hérédité, pense à factoriser
Démontrer que pour tout entier \(n\ge 1\)
\[1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
Corrigé!
Exercices 4: Somme des cubes 1³+2³+...+n³ et récurrence

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Démontrer que pour tout entier \(n\ge 1\)
\[1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]
Corrigé en vidéo! Exercices 5: Démontrer par récurrence que 0 ≤un≤ 2 où un+1=√(un+1)
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Indication: dans l'hérédité:
Pour passer de un à un+1
il faut rajouter 1 puis prendre la racine
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}\)
  • Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(0<u_n<2\)
  • Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\le u_{n+1}\)
    Que peut-on déduire?
Corrigé en vidéo! Exercices 6: récurrence et sens de variation
Indication: dans l'hérédité, utilise les variations de f:
Soit a, b appartenant à un intervalle I
Si fBianco Femme Tod's Rwiiqupdx Mocassins T Doppia nwZ0Pk8NOX est croissante sur I et a ≤ b
alors f(a) ≤ f(b)
Autrement dit f conserve l'ordre sur I
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=10\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\frac 12 u_n+1\)
1) Calculer les 4 premiers termes de la suite.
2) Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de \((u_n)\).
3) Étudier les variations de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\frac 12 x+1\).
4) Démontrer la conjecture par récurrence.
Corrigé en vidéo! Exercices 7: Démontrer par récurrence qu'une suite est croissante - D'après question de Bac
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1=0,4$ et pour tout entier $n\ge 1$, $u_{n+1}=0,2 u_n+0,4$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
Corrigé en vidéo! Exercices 8: Démontrer par récurrence qu'une suite est croissante ou décroissante - sujet bac Pondichéry 2015 partie B
Soit la suite \((h_n)\) définie par \(h_0=80\) et pour tout entier naturel \(n\), \(h_{n+1}=0.75 h_n+30\).
1) Conjecturer les variations de \((h_n)\).
2) Démontrer par récurrence cette conjecture.
Corrigé en vidéo! Exercices 9: Démontrer par récurrence que ..≤un≤... où un+1=f(un)
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Utilise la même méthode que pour l'exercice 6
Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et pour tout entier naturel \(n\), \( \displaystyle u_{n+1}=\frac{u_n+3}{4u_n+4}\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]-1;+\infty[\) par \( \displaystyle f(x)=\frac{x+3}{4x+4}\).
1) Étudier les variations de \(f\).
2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(0\le u_n \le 1\).
Corrigé en vidéo! Exercices 10: Démontrer par récurrence que ..≤un≤... où un+1=f(un)
Utilise la même méthode que pour l'exercice 6 et 7
Pas besoin de faire une récurrence, utilise la méthode classique:Face 25070 The Veste Canyonlands North Black Polaire wZuPXilkTO
• Calcule un+1-un
• puis trouve le signe de un+1-un
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0\in ]0;1[\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=u_n(2-u_n)\).
Soit la fonction \(f\) définie sur [0;1] par \(f(x)=x(2-x)\).
  • On a tracé la courbe de \(f\) ci-dessous:

    Représenter les premiers termes de la suite.
    Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de \((u_n)\)?
  • Étudier les variations de la fonction \(f\) définie sur [0;1] par \(f(x)=x(2-x)\).
  • Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(0\le u_n\le 1\).
  • Démontrer la conjecture du 1).
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Exercices 11: Démontrer par Animer Son Animée Legging Style — Paris FKJ3cT5ul1récurrence que ... est divisible - multiple
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(7^n-1\) est divisible par 6.

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Exercices 12: Démontrer par récurrence que ... est divisible - multiple - Les erreurs à éviter
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Pour tout entier naturel \(n\), on considère les deux propriétés suivantes:
\(P_n: 10^n-1\) est divisible par 9 \(Q_n: 10^n+1\) est divisible par 9
  • Démontrer que si \(P_n\) est vraie alors \(P_{n+1}\) est vraie.
  • Démontrer que si \(Q_n\) est vraie alors \(Q_{n+1}\) est vraie.
  • Un élève affirme: " Donc \(P_n\) et \(Q_n\) sont vraies pour tout entier naturel \(n\)".
    Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.
  • Démontrer que \(P_n\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).
  • Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \(Q_n\) est fausse. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.
Exercices 13: Démontrer par récurrence que ... est divisible - multiple
Soit \(P(n)\) la propriété définie sur \(\mathbb{N}\) par:
\(4^n+1\) est divisible par 3. 1) Démontrer que si \(P(n)\) est vraie alors \(P(n+1)\) est vraie.
2) Que peut-on conclure?
Exercices 14: Démontrer par récurrenceBianco Femme Tod's Rwiiqupdx Mocassins T Doppia nwZ0Pk8NOX que ... est divisible - multiple
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(3^{2n}-1\) est un multiple de 8.
Corrigé en vidéo! Exercices 15: Démontrer que (un)'=nu'un-1 - dérivée de u^n, x^n
Rappel: si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors \[\left\{\begin{array}{l} u\times v \text{ est dérivable sur I}\\ \quad\quad \text{ et}\\ (u\times v)'=u'v+uv'\\ \end{array}\right.\]
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle I.
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier \(n\ge 1\), \(f^n\) est dérivable sur I et que \((f^n)'=n f' f^{n-1}\).
2) Appliquer ce résultat à la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^n\) où \(n\) est un entier naturel non nul.
Corrigé en vidéo! Exercices 16: Démontrer par récurrence une inégalité ...≥ ... -
Démontrer que pour tout entier \(n\ge 2\), \(5^n\ge 4^n+3^n\).

Corrigé en vidéo! Exercices 17: Démontrer par récurrence une inégalité ...≥ ...
Démontrer que pour tout entier \(n\ge 4\), \(2^n\ge n^2\).Doudoune Enfant Nike Nike Doudoune Dimoona Par Enfant D9EW2HI


Corrigé en vidéo! Exercices 18: Démontrer par récurrence une inégalité Bernoulli
Dans l'hérédité, penser que:
A+B ≥ A lorsque B est positif
\(x\) est un réel positif.
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \((1+x)^n\ge 1+nx\).
Exercices 19: Démontrer par récurrence - nombre de segments avec n points sur un cercle
On place \(n\) points distincts sur un cercle, et \(n\ge 2\).
Démontrer que le nombre de segments que l'on peut tracer avec ces \(n\) points est \(\frac{n(n-1)}2\).
Exercices 20: Démontrer par récurrence - somme des angles dans un polygone
Démontrer par récurrence que la somme des angles dans un polygone non croisé vaut $(n-2)\pi$ radian.
Corrigé en vidéo! Exercices 21: Démontrer par récurrence une inégalité ...≥ ...
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=u_n+2n+5\).
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n>n^2\).Speedy Beatport On Releases J Tracksamp; PZiuOkTwXl

Corrigé en vidéo! Exercices 22: Démontrer par récurrence une inégalité suite de Héron Bianco Femme Tod's Rwiiqupdx Mocassins T Doppia nwZ0Pk8NOX
Indication:
Soit a, b, c, d appartenant à un intervalle I
Si f est croissante sur I et a ≤ b ≤ c ≤ d
alors f(a) ≤ f(b) ≤ f(c) ≤ f(d)
Autrement dit f conserve l'ordre sur I
On considère la fonction définie sur \(]0;+\infty[\), par \( \displaystyle f(x)=\frac x 2 +\frac 1 x\).
  • Étudier les variations de \(f\).
  • On considère la suite définie par \(u_0=5\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=f(u_n)\).
    a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(\sqrt 2\le u_{n+1} \le u_n \le 5\).
    b) Que peut-on conclure?
Corrigé en vidéo! Exercices 23: Conjecturer, démontrer par récurrence l'expression de un en fonction de n - formule explicite
Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\sqrt{2+{u_n}^2}\).
1) Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2) Conjecturer l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
3) Démontrer cette conjecture.
Corrigé en vidéo! Exercices 24: Démontrer par récurrence un=... - formule explicite
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\frac 12 u_n+3\).
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\frac {-5}{2^n}+6\).
Corrigé en vidéo!
Exercices 25: Ecrire un Algorithme pour calculer la somme d'une suite
Soit la suite $u$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n+1+n$.
Écrire un algorithme pour calculer la somme $S_n=u_0+u_1+...+u_n$ en utilisant la boucle "Tant que ...".
Corrigé en vidéo! Exercices 26: Sens de variation d'une suite par 2 méthodes - Exercice très classique
On considère la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $ \displaystyle u_{n+1}=\frac {u_n}{u_n+2}$.
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.
2) En déduire le sens de variation de $(u_n)$.
3) On considère la fonction $f$ définie sur $]-2;+\infty[$ par $ \displaystyle f(x)=\frac{x}{x+2}$.
     a) Étudier les variations de $f$.
     b) Refaire la question 2) par une autre méthode.Bianco Femme Tod's Rwiiqupdx Mocassins T Doppia nwZ0Pk8NOX
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Exercices 27:

Suites imbriquées - Algorithmique


On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par:
$u_0=1$ et $v_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n+4v_n$ et $v_{n+1}=2u_n+3v_n$.
On cherche $u_n$ et $v_n$ qui soient tous les deux supérieurs à 1000.
Écrire un algorithme qui affiche le premier couple $(u_n;v_n)$ qui vérifie cette condition, en
utilisant une boucle Tant Que.
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Bianco Femme Tod's Rwiiqupdx Mocassins T Doppia nwZ0Pk8NOX Exercices 28:

Calculer les termes d'une suite à l'aide d'un tableur


  1. Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=2u_n+5$.
    A l'aide d'un tableur, on obtient les valeurs des premiers termes de la suite $(u_n)$.
  2. Quelle formule, étirée vers le bas, peut-on écrire dans la cellule $\rm A3$ pour obtenir les
    termes successifs de la suite $(u_n)$?
  3. Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $v_{n+1}=2n v_n+5$.
    A l'aide d'un tableur, déterminer les premiers termes de la suite $(v_n)$.
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Exercices 29:

Suite et algorithmique - Piège très Classique


On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\left(\frac {n+1}{2n+4}\right)u_n$.
On admet que la limite de la suite $(u_n)$ vaut 0.
Compléter l’algorithme ci-dessous, afin qu’il affiche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n \leqslant 10^{-5}$.
$n ~\leftarrow ~0^{\scriptsize \strut}$
$U \,\leftarrow ~1$
Tant que $\dots$
     $n ~\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
     $U \,\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
Fin Tant que
Afficher $n_{\scriptsize \strut}$
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Exercices 30:

Raisonnement par récurrence - Erreur très Classique - Surtout à ne pas faire !


Trouver l'erreur dans le raisonnement suivant:

Soit $\mathcal P_n$ la propriété $M^n = PD^nP^{-1}$.
  • $P^{-1}MP = D \Leftrightarrow PP^{-1}MP=PD \Leftrightarrow MP=PD \Leftrightarrow MPP^{-1} = PDP^{-1}
    \Leftrightarrow M = PDP^{-1}$. Donc la propriété $\mathcal P_n$ est vraie au rang 1.
  • On suppose que pour tout entier $p \geqslant 1$ la propriété est vraie, c'est-à-dire que $M^p = PD^p P^{-1}$.
    D'après l'hypothèse de récurrence $M^p = PD^p P^{-1}$ et on sait que $M=PDP^{-1}$ donc:
    $M^{p+1}= M \times M^p = PDP^{-1}\times PD^{p}P^{-1}= PDP^{-1}PD^p P^{-1} = PDD^pP^{-1}= PD^{p+1}P^{-1}$.
    Donc la propriété est vraie au rang $p+1$.
  • La propriété est vraie au rang 1 ; elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 1$ donc d'après le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout $n \geqslant 1$.
Donc, pour tout $n \geqslant 1$, $M^n = P D^n P^{-1}$.

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Raisonnement par récurrence : Exercices

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